sunnuntai 10. lokakuuta 2010

Pari

Eureka!
Olen ilmeisesti vaeltanut eksytyksessä. Vähäpätöinen puolustukseni on, että varmaan en ole ollut ainoa.

Olen pohtinut pitkään ja hartaasti, mitä erikoista on luvussa 2 , joka on ainoa parillinen alkuluku. Vastaus onkin näköjään, että tässä mielessä ei mitään. Jossakin muussa, vielä tuntemattomassa mielessä ehkä kyllä, mutta ei tässä.

Kumpi tuntuu todennäköisemmältä: Joko luku 2 on järkyttävän kummallinen anomalia, tai sitten parillisuus, eli kahdella jaollisuus ei ole missään erityisasemassa? Myös 2 on vain luku, joka on jaollinen ainoastaan itsellään ja 1:llä. Jos mieltämme hallitsisi trigoninen symmetria, olisin varmaan ihmetellyt samaa luvusta 3 , joka on ainoa kolmellinen alkuluku.

Kuitenkaan mysteeriä ei ole paljastettu yhtään. Edelleenkin vaan mielestäni jostain syystä luonnollisten lukujen alkupäässä tapahtuu jotain hyvin outoa, mutta onneksi nyt vapautuu huomattava määrä mentaalienergiaa toivottavasti hedelmällisempään pohdintaan. Esimerkiksi sen miettimiseen, missä mielessä luku 2 on oikeasti kummallinen.

Sivumennen sanoen, jos alephin parillisuudelle ei ole muuta perustetta kuin se, että esitettäessä joku kokonaisluku päättymättömänä "desimaalisena" (..., 01001011.. ) binäärilukuna oletetaan permutaatioitten lukumäärän automaattisesti tässäkin pätevän, en ole hirveän vakuuttunut.

4 kommenttia:

  1. Täytyy myöntää, että itsellänikin tuli - tosin tietysti aika nuorena, koska matematiikasta olin kovasti kiinnostunut - aikamoisena pommina sen tajuaminen, että "parillisuus" ei ole mitään sen mystisempää kuin "kolmellisuus" (hieno sana) tai vaikkapa "viidellisyys" tms.

    Itse en ole lukuteoriaa kauheasti harrastanut, mutta. Luku 2 on luonnollisten lukujen joukossa erityinen siinä mielessä, että se on yhteenlaskun mielessä ensimmäinen "komposiitti". Siis, se on pienin luku, joka saadaan aikaan jollakin ei-triviaalilla yhteenlaskulla (siis sellaisella, joista toinen ei ole nolla). Tämä tarkoittaa samaa kuin että se on pienin luku, josta todella voidaan vähentää jotain.

    2 on ainoa ei-triviaali luku, jolle pätee: x+x = x*x. Lisäksi [tästä seuraa että] sille pätee, että x^(x+x) = (x+x)^x, ja on tietääkseni ainoa ei-triviaali luonnollinen luku, jolle tämä pätee.

    Se myös tuottaa heti muita hauskoja "pienimpiä" ilmiöitä. 2+2 on pienin luku, joka on ei-triviaali jaollinen luku.

    En ole kuullut väitettä, jonka mukaan aleph on parillinen. Mistä se on peräisin?

    VastaaPoista
  2. Parillisuus oli ainakin Uuno Saarnion kirjassa, "mitä tiedämme äärettömästä". Olen jo palauttanut sen kirjastoon, joten en juuri voi tarkistaa. Toisenlaisia kantoja ja tuoreempia näkyy löytyvän helpostikin. Tietysti jos koko asia on mieletön, niin molemmat väitteet voidaan osoittaa.

    Esiintyykö kahdella jaollisuus (tai sen puute) jotenkin sisäänrakennettuna varteenotettavuutena luonnon rakenteeseen?
    Ainakin ihmispsyyke näyttäisi ensin laskeneen pareittain.

    Muistaakseni paremman puuttuessa aina hyvä todistusyritys oli "symmetriasyistä johtuen".

    On valitettavaa, että en enää muista laskua. Appron laskuharjoituksissa ainutkertaisena suorituksena kehitin kertakäyttöisen tussikynäoperaattorin, joka jonkun a:n potenssien monen identtisen a:n joukosta merkkasi ja poimi yhden seuraten sen kohtaloa.
    Kehittäessäni sen illalla ajatus oli aivan selvä. Seuraavana päivänä se jo näytti varsin hataralta, mutta esitin sen kuitenkin, ja vastaus hyväksyttiin.
    Voisi sanoa, että sen jälkeen identiteetti on ollut vähän hakusessa.

    VastaaPoista
  3. Nähdäkseni Alephin (kirjoitan nyt vaan N) jaollisuudelle voidaan esittää kolme ristiriidatonta tulkintaa, mutta voin olla toki väärässä.

    Ensimmäinen on, että se on jaollinen jokaisella nollasta poikkeavalla luvulla, koska x*N = N mille tahansa positiiviselle x:lle. Toinen on, että se on jaoton, koska sen tekijänä on aina se itse. Kolmas on, että kysymys on mieletön, tai ainakin huonosti määritelty. Itse olen vähän tällä kolmannella kannalla, koska en pidä kysymystä olennaisena.

    Mitä tulee kakkosen tms. esiintymiseen "luonnossa" kysymys on vähän hassu. Se ei ole tyhmä, mutta se ikäänkuin liitelee tarinasta toiseen. Minulle tulee tuollaisista kysymyksistä mieleen jotain sen kaltaista, että kysytään voittaisiko Hämähäkkimies vai Batman taistelussa. Ihmisen mieli toimii niin, että se jakaa asioita osiin, paloittelee niitä.

    "Parillisuus" on vain sitä, että jokin voidaan jakaa kahteen tarkalleen samankokoiseen osaan. Tämä tietenkin oikeasti on hyvin fundamentaalinen symmetria, mutta kuten totesit, ei ole periaatteessa mitään yleisiä syitä sille, miksi on juuri näin, eikä niin, että kolmella jaollisuus tuntuisi meistä vielä luonnollisemmalta. Meidän on äärimmäisen vaikea hahmottaa sellaista; yksi fysikaalinen selitys tälle on, että elämme niin suuren pallon pinnalla, että se on käytännössä taso. Tällöin gravitaatio vaikuttaa lokaalisti aina yhteen suuntaan, joten meillä on luonnollinen yksi symmetria-akseli, ja paloittelemme luonnostaan kappaleita tasoilla. Kun konveksi kappale leikataan yhdellä tasolla, se lohkeaa kahtia, ja tämä on ikäänkuin hyvin perustavanlaatuinen "syy" sille, että juuri kahteen jakaminen on luontevaa. Mutta tämä selitys, vaikka vaikuttaa luontevalta, on tavallaan kehämäinen.

    Suurin ongelma tällaisesta asiasta puhumisessa on kuitenkin se, että meillä nyt on tietty tapa ajatella asiaa, ja meille on hyvin vaikeaa hahmottaa sitä mitenkään muuten. Ja vaikka voisimme hahmottaa asian jotenkin muuten, meillä on aina se ongelma, että formalismit, joilla asiasta puhumme, on kehitetty aivoille, joille se hahmottaminen muuten on vaikeaa. Jne.

    VastaaPoista
  4. Paul Erdos taisi sanoa, että kaikki alkuluvut ovat outoja, mutta 2 on niistä kaikista oudoin.

    VastaaPoista