maanantai 25. lokakuuta 2010

Luonnollisesti

On varsin helppoa ymmärtää, että monet tuntevat syvää vastenmielisyyttä esim. transfiniittisiä kardinaalilukuja kohtaan. Jotkut saattavat kakistellen myöntää niille jonkinlaisen aseman, mutta painokkaasti ihmetellä, miksi niitä pitää kutsua "luvuiksi", sillä äärettömyyksien tuolla puolen lukumaisuudesta näyttäisi olevan enää hyvin vähän jäljellä.
Epäilijät ja uskovat ovat tietääkseni kuitenkin vielä yhtä mieltä siitä, missä kohtaa todellisuus on vielä vuorenvarmalla ja kiistattoman lujalla kalliopohjalla: luonnolliset kokonaisluvut sentään ovat epäilysten ulkopuolella, olkootpa vaikka sitten hyvin todella oikein suuriakin.

Rohkenen heittää kiven.
Toisessa yhteydessä tulin tutustuneeksi minua aiemminkin lievästi ihmetyttäneeseen kysymykseen: Miten hyvin suuria kokonaislukuja aivan konkreettisesti esitetään ja miten niillä käytännössä lasketaan. Näyttäisi siltä, että ollaankin yllättävän nopeasti vaikeuksissa. Ensyklopedian mittainen luku on tietysti helppo "väittää" merkkijonona, muten entäs kun sillä pitäisi laskea ?

"Paljonko niitä hiekanjyviä olikaan? n x 10^jotakin? Kummallisen pyöreän tuntuinen luku. Oletko varma, että tulit huomanneeksi kaikki? Entäs ne maailmankaikkeuden vetyatomit? Väitit niitä olevan 10^jotakinsuurta. Minusta tuossa on kolme liikaa. Tarkista ole hyvä. Laske ne vielä kerran."
Jos haluamme tietään tulon a (Encyklopedia Britannican mittainen) x b (Otavan iso tietosanakirja), miten Syvä miete yleensä käsittelee asian? Jos saamme vastauksia, luulemme voivamme viimeisistä numeroista ainakin huomata ne, jotka ovat ehdottomasti vääriä, koska loppunumeroina pitäisi esiintyä vain 42, mutta voimmeko todella olla edes tästä varmoja?

Entäpä jos hirvittävän suuret luvut vain lakkaavat toimimasta? Entä jos aritmetiikka ei ylläkään hyvin kauas? Entä jos suuret luvut ovatkin viallisia? Miten voisimme havaita asian?

Suurimmat tunnetut alkuluvut näyttäisivät olevan Mersennen lukuja. Johtuuko tämä siitä, että ne ovat helposti tiivistettäviä, joten ne on ollut helppo katsoa? Onko niitten välimaasto kartoitettu, eli onko tunnettujen alkulukujen jono aukoton?

Maailmankaikkeuden pimeälle massalle ja pimeälle energialle on esitetty selityksiä, joista monet tuntuvat varsin keinotekoisilta. Entä jos mitään puuttuvaa massaa tai energiaa ei edes ole olemassa, vaan vika on itse suurten lukujen luonteessa? Tällöin tietysti asiaa voitaisiin korjata valitsemalla riittävän suuret mittayksiköt, jotka kuitenkin samalla välttämättä olisivat atomistisia ja ehdottomasti pienimpiä, jakamattomia, mutta valitettavasti me vain olisimme itse juuri niiden sisällä :)

Onko kukaan vakavasti koskaan edes harkinnut ajatusta, että jospa hyvin kaukana aritmetiikka alkaakin rapistua ja lopulta lakkaa jopa toimimasta?

5 kommenttia:

  1. En hoksaa millä tavalla aritmetiikka voisi "lakata toimimasta" suurilla luvuilla. Kaikille aritmeettisille perusoperaatioille tiedetään yksinkertainen algoritmi, joka tuottaa halutun lopputuloksen millä tahansa äärellisillä luvuilla.

    Jos arvailussasi olisi perää, niin olisi olemassa pienin kokonaisluku, jolla aritmetiikka ei jollain tapaa toimisi. Minusta tuollaisen luvun olemassaolo olisi hyvin epäintuitiivista.

    VastaaPoista
  2. No jos se vaan hiljalleen rapistuisi, sitä ei välttämättä heti huomaisi...
    On eri asia ylväästi piirtää matemaattinen esitys, ja sitten eri asia todella laskea ja mitata. Entä jos jossain päät eivät vaan kohtaakaan? It just doesn't add up?
    Tietysti konkretiassa käytetään aina jotain yksikköä. On tyynesti hyväksytty, että mittayksikkö voi venyä tai kutistua. Mitä saataisiin, jos vaadittaisiinkin, että mittayksikkö _ei saa_ venyä tai kutistua, vaan jos jonkin on muututtava, niin aritmetiikan? Ei se nyt ihan mahdoton ajatus ole. Minulla ei muuten ole aavistustakaan siitä, mitä saataisiin.
    Tai entäpä jos joku saisi päähänsä vaatia relativistista käyttäytymistä myös _määrältä_? Onko mooli vetyatomeja maassa välttämättä immuuni muunnoksille?

    VastaaPoista
  3. On kai olemassa jotain ultrafinitistejä joiden mielestä tarpeeksi suuret luvut eivät ole olemassa. Se missä mielessä luvut ylipäätänsä ovat olemassa on tietysti sekin vaikea kysymys.

    VastaaPoista
  4. Voidaan laskea yläraja sille, miten suurilla luvuilla ei nykytiedon mukaan vallitsevien luonnolakien vallitessa voi esiintyä mielekkäitä laskutoimituksia, joiden tulos voitaisiin tietää. Näissä lukujen esitystapa on olennainen, koska luku täytyy kyetä esittämään tunnetun maailmankaikkeuden sisällä. Jos lukua ei kyetä esittämään, sitä ei "ole olemassa" siinä merkityksessä, että emme voi erottaa sitä jostakin toisesta suunnilleen samansuuruisesta luvusta.

    Esitystapa on olennainen myös siksi, että se ei sido niinkään lukujen suuruutta, vaan niiden informaatiosisältöä, esimerkiksi kolmogorov-kompleksisuutta. Tällaisia rajoja voidaan karkeastiottaen esittää. Jos oletetaan, että yhtä bittiä ei voida edes teoriassa esittää tiheämmin kuin 1bitti/Planckin-tilavuus, niin lasku menee jotenkin näin: Havaittavissaoleva maailmankaikkeus on kooltaan 4.1 * 10^34 kuutiovalovuotta, joten pikaisella laskulla saadaan, että maailmankaikkeuteen mahtuu noin 10^156 planckin tilavuutta.

    Näin monta bittiä tarkoittaa, että niiden lukujen määrä joita voitaisiin annetulla esitystavalla esittää maailmankaikkeudessa olisi suuruusluokaltaan 2^10^156. Luonnollisia lukuja ei siis voisi missään esitystavassa "olla olemassa" enempää kuin tämän verran; suurimpien lukujen kokoa sinänsä tämä ei rajoita, koska on olemassa keinoja merkitä lukuja, jotka ovat selvästi tätäkin suurempia. Esimerkiksi Ackermannin funktion tai Conwayn nuolen avulla voidaan parilla rivillä ilmaista lukuja, joissa esiintyvien numeroiden määrän ylärajaa ei voisi ilmoittaa alkeislaskutoimitusten (yhteen- ja kertolaskulla, potenssiinkorotuksella, jne) avulla näkyvässä maailmankaikkeudessa. Ja niin edelleen.

    VastaaPoista
  5. Edellissä kommentissani oli jossain kohtaa tapahtunut virhe; planckin tilavuuksia mahtuisi Wikipedian mukaan maailmankaikkeuteen noin 8.5 × 10^184.

    VastaaPoista