torstai 28. lokakuuta 2010

Luonnollisesti II

Olen yllättynyt.
kun esitän edellisen tekstin ongelman matemaatikoille, he eivät ymmärrä kysymystä. Sen sijaan insinöörit, automekaanikot ym. tekniikan käytännön kanssa toimivat ovat poikkeuksetta ymmärtäneet kysymyksen heti. Tämä on pätenyt jo kolmella kielelläkin. Matemaatikolle pieni kokonaisluku ja huikean astronomisen giganttinen luku ovat myös käytännössä samanveroiset käyttäytymiseltään. Siinä mielessä ilmeisesti molemmat ovat heille "abstract nonsense", ja ajatuskin siitä, että ne jopa ideoina olisivat täysin reaalimaailmasta riippuvaisia ja siihen sidottuja, on heille anateema. Heille luku voi ehkä esittää jotain kvantitatiivista, mutta sen ei välttämättä tarvi. Näin ollen aritmetiikan konsistenssi on heille epäilyksen ulkopuolella, sillä puolen paperia, jolla ei ole pienintäkään vaaraa todella joutua laskemaan esim luvuilla, joissa on jotain ehkä googolplexkertoma numeroa, joista jokainen edustaa ihan varmasti jotakin hyvin konkreettista. Mielestäni tässä kohtaa olisi syytä järkyttää varmuutta, joka oikeastaan tuntuu varsin perusteettomalta.
Tässä kohden on tosi jälleen kerran: "tietäminen" on itseasiassa tunnetila.

Voisiko fysiikka olla tieteiden kuningatar ja sanoa matematiikalle: "En luota sinuun enää, ennenkuin käyttäytymisesi on tutkittu?"

9 kommenttia:

  1. Hmm, mielestäni ymmärsin kyllä kysymyksesi, eikä aritmetiikassa ole minulle sinänsä mitään pyhää. Yritin vain saada hypoteesiisi jotain konkretiaa kysymällä niitä tapoja, joilla aritmetiikan toteuttavat algoritmit voisivat lakata toimimasta lukuja kasvatettaessa.

    Ainakin minun intuitioni vastustaa hypoteesia: On olemassa kok.luvut N ja M, joille yhteen- tai kertolaskualgoritmi ei enää toimikaan.

    Ehkä epävarmuutesi kumpuaa ajattelusta, joka määrittelee kokonaisluvun käsitteen jotenkin intuitiivisesti, eikä (Peanon tai joukko-opin) aksioomien avulla. Aksiomaattisesti ajateltuna luvulla on aina edeltäjä ja seuraaja, ja näin mitään mystistä "liian suuren" rajaa on vaikea kuvitella.

    Ehkä epäilyksesi pohjalla on (potentiaalisen) äärettömyyden käsite.

    VastaaPoista
  2. Tämä on "entä jos" ajattelua. Minulla ei ole mitään erityistä syytä epäillä aritmetiikan koossapysyvyyttä, mutta pidän mahdollisuuden aina mielessäni.

    Mistä me itseasiassa tietäisimme, _toimiiko algoritmi vai ei_ joillekin luvuille? Entä jos se joskus toimisi ja joskus ei?

    Kuvittele mielessäsi algoritmien hiljainen rapistuminen. Ne vaan alkavat hiljalleen tökkiä. Niin kuin tämä ei aina sais bensaa? Meno vähän niinkuin hyytyy sateella. Pitäiskö jakaja kuivata? Taas tuo moottorivalo välkähtää... mitä v__tua... ?

    VastaaPoista
  3. Kokonaisluvuilla on vaikea kuvitella asioiden "alkavan hiljalleen tökkiä". Olisi oltava ensimmäinen kok.luku, jolla jokin operaatio ei enää toimi, vaikka se toimii kaikilla edeltävillä.

    Epäilyksesi kuulostaa induktioperiaatteen (induksioaksiooman) kyseenalaistamiselta, missä ei tietenkään ole sinänsä mitään poikkeuksellista tai mielenvikaista. Sen kyseenalaistajillehan on jopa oma koulukuntansa, ja noin yleisellä tasolla aksioomien kyseenalaistettavuus on tietysti aina hyvä pitää mielessä.

    Toisaalta kok.lukujen määrittely tapahtuu sekä Peanolla että joukko-opissa hyvin "induktiomaisesti", joten tuollaisten mystisten yllärien pullahtaminen esiin jollain askeleella tuntuu loogisesti ristiriitaiselta. Tämä tunne vahvistaa induktioaksiooman hyväksyntää minun kohdallani.

    VastaaPoista
  4. Paperilla ja teoriassa varmasti kaikki toimii. Paras tapa päästä puhumaan samaa kieltä lienee tämä:

    Mielettömänsuuriluku x hirvittävänsuuri luku = mitenvastauskonkreettisesti tuotetaan?
    Hetken perästä joku vielä väittää vastausehdotuksen olevan vääränkin. Miten asia tarkistetaan?

    VastaaPoista
  5. 1) Esitetään molemmat luvut kymmenkantaisessa järjestelmässä. Kohdistuuko epäilyksesi tähän askeleeseen? Jos kohdistuu, niin luultavasti ajattelet jotain berryn paradoksin kaltaista epäselvää tapaa luvun nimeämiseksi, jolloin ongelma ei mielestäni koske aritmetiikkaa.

    2) Suoritetaan kertolasku kymmenkantaisille esityksille.

    Molemmille askelille on helppo keksiä yksinkertainen algoritmi (joka saattaa olla laskennallisesti hidas, mutta sehän ei ole tässä oleellista). Algoritmien oikeellisuuden tarkistamisessa yleisellä tasolla on luultavasti nojauduttava induktioon.

    VastaaPoista
  6. Tästä päästään mukavasti vanhaan 1100-luvulta peräisin olevaan probleemaan:

    "Jos Jumala on kaikkivaltias ja kaikkivoipa, niin voiko hän luoda niin ison kiven, ettei hän itse jaksa nostaa sitä?"

    Äkkipäätä ajatellen kysymys on mieletön. Mutta jos oletamme, että kivi on reaalinen eikä suinkaan hypoteettinen, ja että sillä on reaalisen kiven ominaisuudet - rakenne, massa, tiheys, dimensiot jne - niin kiven massalle on olemassa yläraja, jonka jälkeen se lakkaa olemasta ylipäänsä kivi.

    Tuo raja on Oppenheimer-Volkovin massa, eli noin 2,3 Auringon massaa. Sen jälkeen kivi romahtaa oman gravitaationsa voimasta mustaksi aukoksi ja lakkaa olemasta kivi.

    Toki voidaan olettaa, että se lakkaa olemasta kivi jo Chandrasekharin massan (1,44 Auringon massaa) jälkeen (jolloin se gravitaationsa voimasta romahtaa neutronitilaan).

    Tämä on matemaatikolle ja filosofille vaikeaa mieltää - se "rikkoo" hienon dilemman - mutta teollisuuden ja tekniikan ammattilaisen on helppoa tajuta asia.

    VastaaPoista
  7. Matematiikka on abstrakti konstruktio. Se tarkoittaa, että matematiikassa ei ole mitään mitä ei ole sisäänrakennettu määritelmiin. Koska kokonaislukuoperaatiot on määritelty algoritmisesti minkä tahansa kokoisille luvuille, niiden ei pitäisi lähteä käsistä missään vaiheessa. Riippumatta siitä voidaanko fysikaalisessa maailmassa suorittaa tällaisia laskutoimituksia.

    Fysiikka puolestaan lähtee havaittavasta luonnosta ja luonnonilmiöistä. Fysiikka sattuu käyttämään matematiikkaa, koska fysikaalisten ilmiöiden keskinäisten suhteiden on toistaiseksi todettu olevan samanlaisia kuin matemaattisten abstraktioiden keskinäiset suhteet. (Tietysti pitää paikkansa että matematiikan idea on lähtöisin fysikaalisista ongelmista.)

    Minusta tuntuu että kysymyksesi liittyy enemmänkin siihen, lakkaako tämä yhteys olemassa voimassa "suurilla arvoilla". Tätä on epäilemättä mahdoton tarkistaa. Mutta mielestäni sillä ei ole vaikutusta matematiikkaan itseensä, jonka tiedetään olevan määritelty jatkumaan koherenttina äärettömiin, vaan fysiikan ja matematiikan vastaavuussuhteeseen. Jos Fysiikka sanoo Matematiikalle "En luota sinuun enää", Matematiikka vastaa "Minulle sinä olet vain perusideoiden lähde, mutta toivottavasti pärjäät omillasi."

    VastaaPoista
  8. Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.

    VastaaPoista
  9. "Äkkipäätä ajatellen kysymys on mieletön. Mutta jos oletamme, että kivi on reaalinen eikä suinkaan hypoteettinen, ja että sillä on reaalisen kiven ominaisuudet - rakenne, massa, tiheys, dimensiot jne - niin kiven massalle on olemassa yläraja, jonka jälkeen se lakkaa olemasta ylipäänsä kivi."

    Ehkei tuo ole kuitenkaan tuon ajatuskokeen kannalta olennaista, että onko kyseessä kivi vai musta aukko.


    "Tämä on matemaatikolle ja filosofille vaikeaa mieltää - se "rikkoo" hienon dilemman - mutta teollisuuden ja tekniikan ammattilaisen on helppoa tajuta asia."

    Ketkähän nuo matemaatikot ovat?

    VastaaPoista