maanantai 4. lokakuuta 2010

Jatkumo

Jos olen oikein ymmärtänyt, kontinuumihypoteesi kertoo lukusuoran olevan aukottoman. Kuitenkin lukusuora tavallaan kuvaa "todellisuutta", varsinkin visualisaationa. Näin ollen mielestäni ei ole mitään keinoa lausua yhtään mitään, puoleen tai toiseen, sen ulkopulisista, siihen kuulumattomista asioista. Jos todellisuudessa on aukko, ei ole mitään keinoa havaita sitä sisältä käsin.

Yleensä kai katsotaan lause todeksi, jos se on ratkeamaton, koska vastaesimerkkiä ei voida esittää.

2 kommenttia:

  1. Tuollaista kontinuumihypoteesin tulkintaa en ole kuullutkaan, eikä se minusta kuulosta järkevältä. Hypoteesihan kuuluu perusmuodossaan, ettei ole joukkoa, jonka mahtavuus olisi kokonaislukujen ja reaalilukujen välissä.

    En hoksaa miten tämä voisi liittyä lukusuoran aukottomuuteen. Käsittääkseni reaalilukujen määritelmästä seuraa, että ne muodostavat aukottoman jatkumon.

    VastaaPoista
  2. Hei,
    Kontinuumihypoteesin voi tulkita monella tavalla. Tarkalleenottaen kontinuumihypoteesi sanoo, että rationaalilukujen ja reaalilukujen välillä ei ole kardinaalia. Siis, että ei voida muodostaa joukkoa, joka olisi "suurempi" kuin rationaaliluvut mutta "pienempi" kuin reaaliluvut.

    Lukusuora kyllä syntyy konstruktiivisesti Dedekindin leikkauksista, ja tämän jälkeen lukusuora on täydellinen (jokainen Cauchy-jono suppenee) Niitä takuulla on juuri tarkalleen sen 2^N (N = luonnollisten lukujen määrä), eli saman verran kuin reaalilukuja. Kontinuumihypoteesi sanoo, että tätä ei voi tehdä "puoliksi", so. jokainen "osa" lukusuorasta on joko numeroituva, eli voidaan rakentaa bijektio luonnollisilleluvuille, tai sitten siltä voidaan rakentaa bijektio koko lukusuoralle. Välimuotoja ei ole.

    "Aukko" ei ole todellisuudessa tässä suhteessa, vaan siinä, miten lukusuora voidaan "pilkkoa".

    Kontinuumihypoteesia ei tarvitse katsoa todeksi tai epätodeksi; se on riippumaton ZFC:stä, joka on yleisesti "hyväksytty" matematiikan malli. Tavallaan ei ole mitään "syytä" että se olisi tosi tai epätosi, se on vain väittämä, joka voidaan ottaa mukaan, jos halutaan. Mitään empiiristä syytä suuntaan tai toiseen sen valinnalle ei ole.

    VastaaPoista