sunnuntai 3. lokakuuta 2010

Intuition virtaa

Aikoinaan tulin oivalluksenomaisesti pohtineeksi, miksi vähennyslasku ei ole vaidannainen? Millainen maailma olisi, jos se olisikin vaihdannainen? Pohdinta, jota en nyt yksityiskohtaisesti sinänsä kuvaa, johti ajatukseen, että "oikeasti luonnossa" ei koko vähennyslaskua ole olemassakaan. On vain luonnollisten kokonaislukujen valintaa yksi toisensa jälkeen, mikä tuottaisi hyvin yhteenlaskulta näyttävän, mutta vain näyttävän operaation.

Riemukseni jälkeenpäin huomasin olevani lähes intuitionisti. Kuitenkaan en vaadi joukko-opin hylkäämistä ja äärettömyyksistä luopumista, vaikka kaikki äärettömyydet eivät minua hirveästi vakuutakaan, mutta esittäisin harkittavaksi:

Onko mahdollista, että jotain tärkeää ja olennaista jääkin huomaamatta, jonka voisi tavoittaa intuitionismin suuntaa seuraten?

9 kommenttia:

  1. Mitä tarkoitat intuitionismilla? Onhan nykyisetkin aksioomat intuitiivisesti valittu, ja niitä muunnellaan ja testaillaan intuitiopohjalta jatkuvasti. Kovin harvat muunnelmat vain kantavat hedelmää.

    VastaaPoista
  2. Oikeasti vähennys- ja jakolaskuja ei ole olemassa: On olemassa vain yhteen- ja kertolaskuja, ja vähennys- ja jakolaskut ovat yrityksiä vastata kysymykseen, "mitä pitää tehdä, että saadaan tämä tulos". Lukujen säännönmukaisuus on sillä tavalla miellyttävää, että usein näihin voidaan vastata.

    Nykyisiä aksiomia ei ole valittu puhtaasti intuition pohjalta; Toki ne on siten alunperin muotoiltu, mutta niiden väliset suhteet on syynätty äärimmäisen tarkkaan. ZFC:tä ei muodostettu yhdessä yössä.

    VastaaPoista
  3. (En tiedä, mitä kysymys yllä tarkoittaa; Intuitio merkitsee useimmille ihmisille jotain "kummitusta koneessa" tms.)

    VastaaPoista
  4. http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism

    VastaaPoista
  5. Kiitos linkistä, se selvensi asiaa. En ole konstruktionisti, joten en ole myöskään intuitionisti.

    Vastaus alkuperäiseen kysymykseesi: mikä ettei.

    VastaaPoista
  6. Tämän konstruktivismin haaran olinkin jo unohtanut; siihen perehdyttiin aikanaan, mutta tästä on jo reilu vuosikymmen. Intuitionismi on tietyssä mielessä sisäisesti ristiriitainen käsitys, hieman kuten platonismikin.

    Intuitionismi perustuu konstruktionismin kantavaan ajatukseen, että kaikki "oikeat" totuudet ovat äärellisesti konstruoitavissa, ja että kolmannen poissuljetun lakia ei saa käyttää; negaation tulkinta on, että väittämälle on vastaesimerkki.

    Ristiriitaisuus tulee siitä, että konstruktioille annetaan mielivaltaisesti jonkinlainen "olemassaolon" määre. Mielivaltaisesti siten, että vain luonnollisten lukujen "olemassaolo" hyväksytään; valitettavasti intuitionistit menettävät myös melkein kaiken differentiaalilaskennan ja funktionaalianalyysin, jne.

    Intuitionismi ei myöskään anna suuntaa enemmälle, koska se on heikompi loogisesti. Intuitionistinen lähestyminen ei esimerkiksi mahdollistä Gödelin epätäydellisyyslauseen todistamista. En tunne intuitionistista logiikkaa tarkemmin, mutta sen pitäisi teoriassa synnyttää epätäydellisyys jo heikommille järjestelmille kuin luonnollisille luvuille. Tosin se itse kiistää tämän, koska väittämä ei ole "tosi tai epätosi", jos sitä ei voi jompaan kumpaan suuntaan todistaa.

    (Platonismi on sisäisesti ristiriitainen käsitys muista syistä.)

    VastaaPoista
  7. TM:
    Intuitionismi ei myöskään anna suuntaa enemmälle, koska se on heikompi loogisesti.

    Mikäli tämä oli vastauksesi alkuperäiseen kysymykseen, niin huomauttaisin, että vaikka teoriassa intuitionistin tavoittamat matematiikan lauseet olisivatkin aito osajoukko normimatematiikasta, saattaa "intuitionistin suuntaa seuraaminen" silti johdattaa huomaamaan jotain oleellista.

    Tässä mielessä heittäisin lonkalta, että vastauksen tulee olla positiivinen.

    VastaaPoista
  8. En ihan tiedä, mitä tarkoitat. Tämän voi ajatella näin; meillä on kaksi autoa, jotka ovat identtiset muuten, mutta toisen pohjaa on pudotettu niin, että maavara on mitätön.

    Korkeammalla autolla voi ajaa minne tahansa, minne voi matalammallakin, mutta matalammalla ei pääse töyssyisen tien yli.

    Voi toki olla, että jotain olennaista voi huomata, jos ei jatkuvasti käytä kolmannen poissuljetun lakia, tai muuten rajoittaa näkökulmaa. Mutta ei tämä tarkoita, että intuitionisti pystyisi tuottamaan tuloksia, joita ns. normaali matemaatikko pystyy.

    Minusta on intuitiivisesti selvää, että reaaliluvut jne. ovat mielekkäitä abstraktioita. Olen sikäli intuitionistien kanssa samaa mieltä, että reaalilukujen mahtavuudelle (puhumattakaan korkeammista kardinaaleista) ei ole mielekästä antaa ainakaan mitään materiaalista tulkintaa; ne ovat ihmisen ajattelun tuotteita, siitä olen samaa mieltä.

    Mitään matemaattisia abstraktioita ei ole "oikeasti" olemassa, so. kaikki matemaattiset abstraktiot ovat mielikuvituksen tuotetta ja niiden ominaisuudet pelkkiä pelin sääntöjen tuloksia. Intuitionistit haluavat rajoittaa sääntöjä, joilla peliä pelataan, tavalla, joka on minusta tarpeeton, eikä perustu oikeastaan mihinkään sellaiseen, mitä voisi perustella mitenkään. Muuten kuin "intuitiivisesti on selvää", mutta kun se ei ole selvää, ainakin minusta kolmas poissuljettu on ilmeinen.

    VastaaPoista
  9. Voi toki olla, että jotain olennaista voi huomata, jos ei jatkuvasti käytä kolmannen poissuljetun lakia, tai muuten rajoittaa näkökulmaa.

    Juuri tämä oli pointtini. Erikoistuminen voi auttaa näkemään jotain, mikä muuten olisi jäänyt näkemättä. Ei sen kummempaa. Alkuperäinen kysymyshän oli "Onko mahdollista, että jotain tärkeää ja olennaista jääkin huomaamatta...", ja ainakin minusta se on ihan mahdollista. Ihan MuTu:lla, erikoistumiseen vedoten.

    Intuitionistit haluavat rajoittaa sääntöjä, joilla peliä pelataan, tavalla, joka on minusta tarpeeton, eikä perustu oikeastaan mihinkään sellaiseen, mitä voisi perustella mitenkään. Muuten kuin "intuitiivisesti on selvää", mutta kun se ei ole selvää, ainakin minusta kolmas poissuljettu on ilmeinen.

    Tästä olen täysin samaa mieltä.

    VastaaPoista