torstai 30. joulukuuta 2010

Luonnollisesti III

Niinpä niin. Rassattuani vuosikausia aivojani sillä, miten luonnollisten lukujen alkupää tuntui aivan poikkeukselliselta ja varmasti siis erittäin merkittävältä alkulukujen tiivistymältä koin hetkellisen valaistumisen riemun oivaltaessani, että tottakai siellä on vähemmän jaollisia lukuja, koska jakajiakin on vähemmän.

Riemu laantui pian. Nimittäin nuo lukumääriin viittaavat käsitteet "paljon" ja "vähän"... Lukumäärät... Luvut... Peruutetaan aplodit... Ylimääräinen väliaika...

Mahtuuko maailmaan kahta vastakkaista peruspiirrettä? Toisaalla on pienten lukujen vahva laki, kunnes ikäänkuin tilan kasvaessa ja lopulta sen salliessa hienot ja tiiviit, kauniit konjektuurit romahtavatkin kiusallisesti kuin ilkkuen. Toisaalla todistetaan hyvin suuressa olevankin (vaikkakaan kukaan ei ole niitä oikeasti nähnyt) lähes absurdin tuntuisia järjestyksen ja rakenteen piirteitä, äärettömän monia Sellaisiajatällaisia lukupareja, jonoja yms, jotka kuitenkin aina ovat vanhan kertausta, siitä ilmeisestä syystä, että niiden ominaisuudet ja piirteet ovat välttämättä aiemmin määritelty.

Lähellä on edelleen ajatus: Entä jos aritmetiikan koherenssi onkin vain pienten lukujen harhaa, sitten kun oikeasti todella testataan?

Väitänkin nyt brutaalisti, että on olemassa korkeintaan vain äärellinen määrä sellaisia lukupareja, joilla ei ole kertakaikkiaan mitään yhteistä.

perjantai 29. lokakuuta 2010

Shakki

Näyttäisi mielestäni siltä, että shakki on molempien pelatessa optimaalisesti väistämätön tasapeli. Siirron etu ei millään voi riittää, koska tapoja saada tasapeli on varsin monta, ja lisäksi huomattavakaan numeraalinen ylivoima ei edes teoriassa riitä. Alussa noin kolmen moukan arvoinen lähetti tai ratsu yksinään ei loppupelissä riitä.

Helposti luulisi kirjeenvaihtoshakin kuolleen tasapelikuoleman jo kauan sitten, ja kaikkien huippupelien olevan vain puuduttavia Rybka vs. Rybka tasapelejä. Kiehtovaa kyllä, näin ei näköjään ole. Pelit ovat jännittäviä veitsenteräpelejä, ja servereillä pelatuissa joukkuepeleissä keskustelut eri siirroista ja vaihtoehdoista ovat kiehtovaa luettavaa.

Olen joskus kevyissä kapakkapeleissä muutaman euron panoksella ehdottanut tuplauksen käyttöönottoa. Kokeilkaapa. Peli saa aivan uusia ulottuvuuksia :)

torstai 28. lokakuuta 2010

Luonnollisesti II

Olen yllättynyt.
kun esitän edellisen tekstin ongelman matemaatikoille, he eivät ymmärrä kysymystä. Sen sijaan insinöörit, automekaanikot ym. tekniikan käytännön kanssa toimivat ovat poikkeuksetta ymmärtäneet kysymyksen heti. Tämä on pätenyt jo kolmella kielelläkin. Matemaatikolle pieni kokonaisluku ja huikean astronomisen giganttinen luku ovat myös käytännössä samanveroiset käyttäytymiseltään. Siinä mielessä ilmeisesti molemmat ovat heille "abstract nonsense", ja ajatuskin siitä, että ne jopa ideoina olisivat täysin reaalimaailmasta riippuvaisia ja siihen sidottuja, on heille anateema. Heille luku voi ehkä esittää jotain kvantitatiivista, mutta sen ei välttämättä tarvi. Näin ollen aritmetiikan konsistenssi on heille epäilyksen ulkopuolella, sillä puolen paperia, jolla ei ole pienintäkään vaaraa todella joutua laskemaan esim luvuilla, joissa on jotain ehkä googolplexkertoma numeroa, joista jokainen edustaa ihan varmasti jotakin hyvin konkreettista. Mielestäni tässä kohtaa olisi syytä järkyttää varmuutta, joka oikeastaan tuntuu varsin perusteettomalta.
Tässä kohden on tosi jälleen kerran: "tietäminen" on itseasiassa tunnetila.

Voisiko fysiikka olla tieteiden kuningatar ja sanoa matematiikalle: "En luota sinuun enää, ennenkuin käyttäytymisesi on tutkittu?"

maanantai 25. lokakuuta 2010

Luonnollisesti

On varsin helppoa ymmärtää, että monet tuntevat syvää vastenmielisyyttä esim. transfiniittisiä kardinaalilukuja kohtaan. Jotkut saattavat kakistellen myöntää niille jonkinlaisen aseman, mutta painokkaasti ihmetellä, miksi niitä pitää kutsua "luvuiksi", sillä äärettömyyksien tuolla puolen lukumaisuudesta näyttäisi olevan enää hyvin vähän jäljellä.
Epäilijät ja uskovat ovat tietääkseni kuitenkin vielä yhtä mieltä siitä, missä kohtaa todellisuus on vielä vuorenvarmalla ja kiistattoman lujalla kalliopohjalla: luonnolliset kokonaisluvut sentään ovat epäilysten ulkopuolella, olkootpa vaikka sitten hyvin todella oikein suuriakin.

Rohkenen heittää kiven.
Toisessa yhteydessä tulin tutustuneeksi minua aiemminkin lievästi ihmetyttäneeseen kysymykseen: Miten hyvin suuria kokonaislukuja aivan konkreettisesti esitetään ja miten niillä käytännössä lasketaan. Näyttäisi siltä, että ollaankin yllättävän nopeasti vaikeuksissa. Ensyklopedian mittainen luku on tietysti helppo "väittää" merkkijonona, muten entäs kun sillä pitäisi laskea ?

"Paljonko niitä hiekanjyviä olikaan? n x 10^jotakin? Kummallisen pyöreän tuntuinen luku. Oletko varma, että tulit huomanneeksi kaikki? Entäs ne maailmankaikkeuden vetyatomit? Väitit niitä olevan 10^jotakinsuurta. Minusta tuossa on kolme liikaa. Tarkista ole hyvä. Laske ne vielä kerran."
Jos haluamme tietään tulon a (Encyklopedia Britannican mittainen) x b (Otavan iso tietosanakirja), miten Syvä miete yleensä käsittelee asian? Jos saamme vastauksia, luulemme voivamme viimeisistä numeroista ainakin huomata ne, jotka ovat ehdottomasti vääriä, koska loppunumeroina pitäisi esiintyä vain 42, mutta voimmeko todella olla edes tästä varmoja?

Entäpä jos hirvittävän suuret luvut vain lakkaavat toimimasta? Entä jos aritmetiikka ei ylläkään hyvin kauas? Entä jos suuret luvut ovatkin viallisia? Miten voisimme havaita asian?

Suurimmat tunnetut alkuluvut näyttäisivät olevan Mersennen lukuja. Johtuuko tämä siitä, että ne ovat helposti tiivistettäviä, joten ne on ollut helppo katsoa? Onko niitten välimaasto kartoitettu, eli onko tunnettujen alkulukujen jono aukoton?

Maailmankaikkeuden pimeälle massalle ja pimeälle energialle on esitetty selityksiä, joista monet tuntuvat varsin keinotekoisilta. Entä jos mitään puuttuvaa massaa tai energiaa ei edes ole olemassa, vaan vika on itse suurten lukujen luonteessa? Tällöin tietysti asiaa voitaisiin korjata valitsemalla riittävän suuret mittayksiköt, jotka kuitenkin samalla välttämättä olisivat atomistisia ja ehdottomasti pienimpiä, jakamattomia, mutta valitettavasti me vain olisimme itse juuri niiden sisällä :)

Onko kukaan vakavasti koskaan edes harkinnut ajatusta, että jospa hyvin kaukana aritmetiikka alkaakin rapistua ja lopulta lakkaa jopa toimimasta?

torstai 14. lokakuuta 2010

Time Warp

Kirpputorilta ostamani outo härveli olikin näköjään ääretön epätodennäköisyysgeneraattori. Huomasin se liian myöhään, vaikka jälkeenpäin ajatellen vogonilaisten kirjoitusmerkkien olisi pitänyt vähän varoittaa minua. Ihan sekundakappale, näitten kapineitten Edsel.
Enpä tiedä saako sitä enää korjattua.
Toi se minut nyt tavallaan kotiin kuitenkin. Kuolemastani on jo jonkin verran aikaa, melkein 10 vuotta, joten harva tuntee minua enää näin paljon vanhempana.

Omaisuuteni on takavarikoitu, mutta Crassus tunsi minut onneksi heti, vanha kitupiikki. Kerroin pitäneeni parempana viipyä vähän aikaa kaukomailla, sen kummemmin tästmentämättä. En pyytänyt häneltä rahaa, sillä en halua hänen huomaavan, miten köyhä olen, mutta juteltuamme pidin silmäni auki ja pian huomasin älykkään näköisen nuoren kirjuriorjan, jonka kädet olivat hennot ja pehmeät, mutta näppärät ja pitkäsormiset.

Vihjaisin voivani näyttää hänelle, miten lasketaan nopeasti styluksella ja taululla, ja tarvittaessa päässäkin. Lupasin tämän olevan näytteen, mutta jos hän haluaisi oppia lisää samankaltaisia asioita, niin vihjaisin, että suhtautumiseeni vaikuttaisi ratkaisevasti nyt saamani mahdollinen palkkio.

Poika on terävä. Hän oppi hetkessä arabialaiset numerot, ja nolla oli hänelle heti selvä. Hänen älykkyyttään korostaa se, että hän maksoi viisi sestertiusta. Sovimme tapaamisen seuraavaksi illaksi, mutta vaadin, että hänellä olisi oltava tuolloin mukanaan joku toinen, jolle hän myös on opettanut samat asiat.

Ilta oli jo myöhä, mutta syötyäni lähdin vielä epämääräisille kujille etsimään lumppuria. Minut yritettiin ryöstää vain pari kertaa Transtiberinassa. Ryöväreiltä saamani rahat saivat lumppurin kuuntelemaan, mitä halusin, ja lupasin, että lisää tulee, kun tavaraa alkaa syntyä. Minulla on kyllä vain hyvin pinnallinen käsitys paperin tekemisestä, mutta uskon lopulta pystyvämme siihen.
Huomenna täytyy hankkia viinipuristin.

Majatalo on karmea. Vieressä pidettiin orgioita koko yö, joten nukkumisesta ei tullut mitään. Valvoin yhden juutalaisen kanssa. Hän oli hyvin kiinnostunut ehdotuksestani, että hänen on ihan turha vaeltaa samaa reittiä edestakaisin rahapussit mukanaan kaikkien ryöstettävinä. Näytin hänelle myös numerot ja nollan, ja hän huomasikin heti itse prosenttilaskun. Jotkut asiat ovat näköjään verissä.

Orja on tosi terävä, ja germaani, Drummknott nimeltään. Yleensähän ne ovat kreikkalaisia. Crassus lupasi lainata hänet minulle Parthian sotaretkensä ajaksi. Kerroin hänelle tietäväni, että sotaretkestä tulee lyhyt, ja että hän saa kultaa kaulaansa myöten.

sunnuntai 10. lokakuuta 2010

Pari

Eureka!
Olen ilmeisesti vaeltanut eksytyksessä. Vähäpätöinen puolustukseni on, että varmaan en ole ollut ainoa.

Olen pohtinut pitkään ja hartaasti, mitä erikoista on luvussa 2 , joka on ainoa parillinen alkuluku. Vastaus onkin näköjään, että tässä mielessä ei mitään. Jossakin muussa, vielä tuntemattomassa mielessä ehkä kyllä, mutta ei tässä.

Kumpi tuntuu todennäköisemmältä: Joko luku 2 on järkyttävän kummallinen anomalia, tai sitten parillisuus, eli kahdella jaollisuus ei ole missään erityisasemassa? Myös 2 on vain luku, joka on jaollinen ainoastaan itsellään ja 1:llä. Jos mieltämme hallitsisi trigoninen symmetria, olisin varmaan ihmetellyt samaa luvusta 3 , joka on ainoa kolmellinen alkuluku.

Kuitenkaan mysteeriä ei ole paljastettu yhtään. Edelleenkin vaan mielestäni jostain syystä luonnollisten lukujen alkupäässä tapahtuu jotain hyvin outoa, mutta onneksi nyt vapautuu huomattava määrä mentaalienergiaa toivottavasti hedelmällisempään pohdintaan. Esimerkiksi sen miettimiseen, missä mielessä luku 2 on oikeasti kummallinen.

Sivumennen sanoen, jos alephin parillisuudelle ei ole muuta perustetta kuin se, että esitettäessä joku kokonaisluku päättymättömänä "desimaalisena" (..., 01001011.. ) binäärilukuna oletetaan permutaatioitten lukumäärän automaattisesti tässäkin pätevän, en ole hirveän vakuuttunut.

lauantai 9. lokakuuta 2010

Melkein kaikki

Melkein kaikki alkuluvut ovat parittomia. Mielestäni lauseen kiehtovuus korostuu, jos sitä täydennetään hiukan:

"Melkein kaikki alkuluvut p>2 ovat parittomia."

Olen usein ajatellut joskus kirjoittaa pienen novellin à la Arthur C Clarke siitä, miten jossain päädytään väistämättä tilanteeseen, että paitsi paras mutta myös ainoa selitys jollekin asialle on se, että joku todennäköisesti hyvin suuri parilliselta näyttävä kokonaisluku onkin alkuluku. Tarinan lopun voisi jättää vaikka roikkumaan ilmaan, sillä oleellisinta olisi se, miten tilanteeseen joudutaan. Loppuu kakkoseen, mutta jako ei vaan mene tasan, vaikka miten numeroa murskaisi.

Ehdotuksia?

keskiviikko 6. lokakuuta 2010

p < 0.05

Tilastollisen merkittävyyden yleisimmäksi merkkipaaluksi näyttää vaan vakiintuneen yksi mahdollisuus kahdestakymmenestä ilman, että siitä olisi mitenkään erityisesti sovittu. Toki muitakin näkee, joskin harvinaisemmat ovat yleensä pienempiä. 0.05 näyttäisi olevan jotenkin riman asemassa. Onhan se toki helppo ja käytännöllinen, ja pienet päässälaskutkin sujuvat, mutta voisiko sen vakiintuneisuudelle olla myös jotain tiedostamatonta, mutta konkreettista syytä?

Onko tuolla kohtaa joku todellisuuden kynnys tai rinne? Paranevatko käytännön sovellutukset selvästi ja merkittävästi noilla main? Olisi helppo ymmärtää psykologinen kynnys: Tuolloin ehkä alkaisi yleensä kiusaantunut liikehdintä ja korttipakkaa tai kolikoita vaadittaisiin tarkastettaviksi. Noilla main ehkä rulettipöydän taakse alkaisi ilmaantua vaiteliaita ja hillittyjä, mutta hyvin kookkaita herroja.

Onko kukaan katsonut kuitenkaan sitä, tiivistyvätkö tiede ja tekniikka tosiaan jotenkin odottamattoman voimakkaasti juuri tuolla kohdalla?

maanantai 4. lokakuuta 2010

Aivoista

Vuosia sitten tutustuin varsin vähän vakuuttavaan ja kömpelön oloiseen yritykseen liittää aivojen toimintaan kvanttifysikaalista aspektia. Näitä viritelmiä on näkynyt aina joskus sittemminkin. Miksiköhän?

Syntyy vaikutelma, että ihmisiä kiusaa aivotoiminnan ajatuksellinen digitalisoiminen. Tosin en tiedä, onko tällainen käsitys edes olemassa, saati yleinen. Mieltävätkö ihmiset todella aivot jotenkin digitaalisena laitteena?

On näet niin, että kyllähän yksi kuvan yksityiskohta todella on noussut hallitsemaan koko näkymää. Aksonilla varustettu hermosolu todellakin joko laukeaa tai sitten ei. Se on joko tai, ja lisäksi tässä esiintyvä häiriö on merkittävä toimintahäiriö, kyllä vaan.

Sen sijaan informaatio, jota hermosolu ottaa vastaan, on portaatonta. Kymmenistä tai sadoista tuovista hermosoluista aiheutuvat kalvojännitteen muutokset ovat käytännössä portaattomia, mitään diskreettisyyttä niissä ei tietääkseni ole. Myös laukeamisen lopputuloksena vapautuvien ja varsinkin lopulta vaikuttavien välittäjäaineitten määrä voi vaihdella täysin portaattomasti. Lisäksi on myös olemassa täysin aksonittomia neuroneja.

Tilanne on sama kuin lukemattomat purot täyttäisivät ja tyhjentäisivät altaita, joiden pinta tiettyjen kynnysten jälkeen vapauttaisivat vasaroita. Lisäksi vasaroiden päät ja alasimetkin vaihtelevat portaattomasti. Tätä kokonaisuutta minun on hyvin vaikea mieltää mitenkään diskreettien tilojen vaihteluna, joten jos sumeutta ja epämääräisyyttä kaivataan, sitä on jo olemassa yllin kyllin.

Onko yleensä olemassa kuvaamaani yleistä harhaa? Jos on, onko se merkittävä vai käytännössä merkityksetön?

Jatkumo

Jos olen oikein ymmärtänyt, kontinuumihypoteesi kertoo lukusuoran olevan aukottoman. Kuitenkin lukusuora tavallaan kuvaa "todellisuutta", varsinkin visualisaationa. Näin ollen mielestäni ei ole mitään keinoa lausua yhtään mitään, puoleen tai toiseen, sen ulkopulisista, siihen kuulumattomista asioista. Jos todellisuudessa on aukko, ei ole mitään keinoa havaita sitä sisältä käsin.

Yleensä kai katsotaan lause todeksi, jos se on ratkeamaton, koska vastaesimerkkiä ei voida esittää.

sunnuntai 3. lokakuuta 2010

Intuition virtaa

Aikoinaan tulin oivalluksenomaisesti pohtineeksi, miksi vähennyslasku ei ole vaidannainen? Millainen maailma olisi, jos se olisikin vaihdannainen? Pohdinta, jota en nyt yksityiskohtaisesti sinänsä kuvaa, johti ajatukseen, että "oikeasti luonnossa" ei koko vähennyslaskua ole olemassakaan. On vain luonnollisten kokonaislukujen valintaa yksi toisensa jälkeen, mikä tuottaisi hyvin yhteenlaskulta näyttävän, mutta vain näyttävän operaation.

Riemukseni jälkeenpäin huomasin olevani lähes intuitionisti. Kuitenkaan en vaadi joukko-opin hylkäämistä ja äärettömyyksistä luopumista, vaikka kaikki äärettömyydet eivät minua hirveästi vakuutakaan, mutta esittäisin harkittavaksi:

Onko mahdollista, että jotain tärkeää ja olennaista jääkin huomaamatta, jonka voisi tavoittaa intuitionismin suuntaa seuraten?